Quadrati di serie di polimini
In questa pagina consideriamo il problema di tassellare un quadrato con una o piu' serie complete di polimini (scartando eventualmente quelli che contengono un buco). Le soluzioni che ho trovato sono:
Il quadrato 3×3 ricoperto da monomino, domino e trimini (chiamiamoli (1,2,3)-mini). Il quadrato 9×9 ricoperto dai (1,4,5)-mini, quello 31×31 ottenuto con (2,6,7)-mini e infine il quadrato 61 × 61 tassellato da ottomini, eptamini, pentamini, trimini e domino.
Secondo un criterio puramente numerico dovrebbe essere possibile ricoprire un quadrato 56 × 56 con i (2+4+6+8)-mini (senza buchi), perche' 1×2 + 5×4 + 35×6 + 363×8 = 56×56. Tuttavia, e' possibile dimostrare come segue che questa ricopertura e' impossibile.
Immaginiamo di disegnare i polimini sulle caselle di una scacchiera. Alcuni pezzi, per esempio, il domino o il tetramino quadrato, comunque vengano disposti ricopriranno sempre due caselle bianche e due nere. Al contrario, il tetramino a T, ricoprira' o 3 caselle bianche e una nera o 3 caselle nere ed una bianca, quindi in ogni caso 2 caselle in piu' di un colore.
Consideriamo adesso un quadrato 6×6. Puo' essere ricoperto da 9 tetramini T? La risposta e' no, perche' una scacchiera 6×6 ha tante caselle nere quante bianche, ma ogni tetramino T porta con se' una discrepanza +2 o -2 tra bianco e nero. Siccome dovremmo usare 9 tetramini, e 9 e' dispari. queste discrepanze non possono dare 0. Facendo un conteggio simile si puo' mostrare che i (2,4,6,8)-mini non possono pareggiare le loro discrepanze in modo da ricoprire il quadrato 56×56.
Il quadrato successivo di questa serie dovrebbe essere il 107×107; da ricoprire con monomino, trimini, esamini e ennamini, ma al momento e' al di la delle mie possibilita'. Per consolarmi, ho ricoperto il quadrato 63×63 qui a fianco con il monomino, il domino, i trimini, i tetramini, i pentamini, gli esamini, gli eptamini (compreso quello bucato) e gli ottomini (compreso 1 dei 6 bucati). Il quadrato e' completamente ricoperto a parte due caselle disposte simmetricamente.