Il cubo
Sì, i pentamini ricoprono una superficie chiusa!
Un cubo di spigolo radice quadrata di 10 ha una superficie di SQR(10)*SQR(10)*6=60 quella dei dodici pentamini. Questo non basta per dimostrare che si puo' fare, ma trovare almeno una soluzione equivale ad una dimostrazione. E la seguente e' una soluzione:
Chi non si fida di questa visione prospettica, controlli lo sviluppo della superficie nella figura seguente: notera' come i pentamini siano stati inclinati di arctan(1/3) e ripiegati sugli spigoli. Ignoro quante soluzioni abbia il problema. Se qualcuno lo sa, o sa calcolarlo, me lo faccia sapere, per favore.
E' comunque affascinante che una superficie chiusa possa essere ricoperta dai pentamini. Immaginate ora di gonfiare il cubo fino ad ottenere un palloncino, una sfera. Anche questa sara' rivestita da pentamini, anche se dobbiamo allargarne un po' la definizione, sostituendo 'Quadrato' con 'Segmento quadrangolare di calotta sferica' (In fondo lo e' anche un appezzamento di terreno sul pianeta Terra). Personalmente vorro' togliermi la soddisfazione di dipingere un pallone da calcio in siffatta maniera.
L'immagine seguente dice le stesse cose, ma sotto forma di grafo. E' il grafo degli spigoli di un poliedro di 60 facce quadrangolari. Il poliedro ha 62 vertici di cui 54 di 4 spigoli e 8 di 3 spigoli. Gli spigoli sono ovviamente 120. Per una corretta interpretazione della figura tenete conto che il 60.o quadrangolo e' delimitato dal perimetro e si richiude all'infinito. Nel grafo riconoscerete le figure dei dodici pentamini stiracchiati secondo necessita'.
A proposito di infinito, mi sono chiesto: una superficie infinita può essere ricoperta dai dodici pentamini, senza formare rettangoli o rette di separazione, in modo che ciascun pezzo abbia il suo simmetrico rispetto ad uno stesso punto? La risposta è sì, come si vede:
Ma in quanti modi? Non lo so.